MathI

Differentiable

“Local”

Formally: $f(x)\le f(x_0), x\in I\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$, then we have a local maximum

Local的定义就是用 $\delta-\epsilon$ 定义的一段小区(邻域)间上的max\min。

考察的时候只用考虑$x_0$的去心邻域，因为由lim的性质，$x_0$永远不会被取到。

名词：extremum：max or min

local extremum 不是 critical point：not differentiable.

证明：极值点导数为0

从两面夹。假设极大值点为$x_0$，f Differentiable，有：

$$f(x_0+h)\le f(x_0) \qquad \text{for} |h|<\delta$$

由导数的定义，我们有:

$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

分别取$h>0,h<0$，有：

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \le 0 \qquad \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \ge 0$$

同时存在，因此$f'(x_0)$只能取0。

Mean Value Theorems

都是在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

Rolle’s theorem

分类讨论的力量。

在$[a,b]$上有$f$定义，有$f(a)=f(b)$，则必有一点$f'(c)=0, c\in [a,b]$

考虑以下三种 $x_m, x_M$ 分布的情况。

a. $x_m\in (a,b)$，则这一点为$c$
b. $x_M\in (a,b)$，则这一点为$c$
c. 都不在，那$[a,b]$上$f$只能为常值函数，自然成立

(Lagrange) Mean Value Theorem

构造 $h(x)=f(x)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)(x-a)$

应用Rolle’s Theorem. 必有 $h'(x)=0$，即 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Cauchy’s MVT

f，g在$[a,b]$连续可导
$[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)$

Talyor’s Theorem

Peano余项

定性分析， $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{R(x)}{(x-x_0)^n}=0$

Lagrange & Cauchy余项

定量分析工具：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \text{ and } R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}}{n!}(x-\xi)^n\cdot(x-x_0)$$

where $\xi$ is between $x$ and $x_0$