MathII

新学期第一堂 lecture，得计点笔记，防止发生 4.0 惨案。

5.26 更新：太不当回事了，重新总结，期中能考出 2.3 这种分啊。

Algebraic structure

关于 set 的图像有一个问题： 对于虚线表示的舍去边界的图，注意在线段拐点画空心圆。

Field Theory

等价关系

需要证：

• Reflexive
• Symmetric
• Transitive

Group 定义

1. 运算符有结合律
2. 有 Identity
3. 有乘法逆元

从定义显然有这里的左右 Id 和 逆元都是相等的。

如果有

4. 运算符有交换律

那么就是 Abelian group

Cyclic 表示

这个表示法的基本是以下矩阵：

$$\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)&\sigma(4)&\sigma(5)& \end{pmatrix}$$

对于自己组成的循环，可以略去不写

如 $\{1,3,2\}$ 可表示为 $(1)(23)$ 或者 $(23)$

注意在 Cyclic 表示的时候，(1234) 和 (4123) 是一个东西。在 $S_4$ 里面都代表“旋转90度”这个操作。
因此如果想表示 $S_4$ 里的所有旋转操作，我们就需要这么写：

Rotations:

$$I = (), R_{\frac{\pi}{2}}=(1234),R_\pi=(13)(24),R_{\frac{3\pi}{2}} = (1432)$$

题目链接：Sheet2.pdf, Ex1

Subgroup

定义：

1. 有单位元
2. 加法封闭
3. 乘法封闭

Field 定义

加法：

• 交换律结合律 （A1/A2）
• 加法零元 （A3）
• 加法逆元 （A4）

乘法：

• 交换律结合律 （M1/M2）
• 乘法单位元逆元 （M3）
• 乘法分配律 （M4）

共九条

Subfield

• 非空 （存在零元和单位元）
• 加法乘法封闭
• 存在乘法逆元和加法逆元

Complex Numbers

Field isomorphism

定义如下：

$$\psi(x_1+x_2) = \psi(x_1) + \psi(x_2), \psi(x_1\cdot x_2) = \psi(x_1)\cdot\psi(x_2)$$

Ordered 定义

• 只能有三种情况： $a=b$, $a\prec b$, $b\prec a$ (trichotomy)
• Transitivity
• 不等式加法乘法性质 （monotony）

复数下一些三角函数的写法

Given $z=x+iy\in\mathbb{C}, \textrm{Re } z = x,\textrm{Im } z = y$, we have:

欧拉公式：

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta \quad \theta \in \mathbb{R}$$

其他公式：

$$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$$

$$|e^z| = |e^x(\cos y+ i\sin y)|$$

$$\sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$$

$$\cos z = \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$$

几何表示

注意这里复数形成的垂直平分线，子集是一条线。不是对应向量划出的面积。

Modulus Algebra

欧拉函数 $\varphi$

递推式：

$$\varphi(p)= \begin{cases} (\varphi(a)-1)(\varphi(b)-1)\quad a,b \text{ are co-prime}, p = ab\\ p-1 \quad p\text{ is prime}\\ a\varphi (x), \quad p = ax,a|x \end{cases}$$

欧拉定理 & 费马小定理

如果 $p$ 为质数：

$$a^{\varphi(p)}\equiv 1 \pmod{p}$$

EXgcd

核心公式为：

$$\begin{aligned} x &= y_0\\ y &= x_0 - \left\lfloor a/b\right\rfloor y_0 \end{aligned}$$

从 GCD 的最后一步一点一点向上推。

CRT

定义方程组为

$$x\equiv b_i \pmod{a_i}$$

有：

$$p = \prod_{i=1}^n a_i, r_i = p / a_i$$

核心公式为：

$$x = \sum^n_{i=1} b_ir_i[r_i]^{-1} |_{a_i}$$

这里的最后一部分指的是模 $a_i$ 意义下 $r_i$ 的乘法逆元。

Vector Space